Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Concepto:

Una ecuación lineal homogénea es aquella ecuación que se representa mediante el decremento de la derivada igualando la ecuación a 0 como esa el siguiente ejemplo:

Para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea se convierte a una ecuación polinomial encontrando las raíces de dicha ecuacion. Cuando la solución tiene raíces reales deben ser linealmente independiente.

Algoritmo:

1. Substituir todas las derivadas a variables con un exponente del mismo grado.
2. Si el grado es mayor de 2, resolver con división sintética.
3. Los resultados serán tus raíces, determinar si son reales o imaginarios.
4. Remplazar dentro de la solución general.
5. e^(mx) de todos tus constantes deben ser independientes.

Dependencia Lineal

Concepto:  

Dos o mas funciones son dependientes cuando alguna de ellas puede representarse en función a otra.

La dependencia lineal de 2 o mas función se calcula mediante “w” (wroskiano) de las funciones que se encuentra mediante la determinante de las funciones.

Cuando el wrokiano (w =0) es nulo y se considera que las funciones son linealmente dependientes, de igual manera cuando es diferente de 0 (w =/0) se considera linealmente independiente.

Algoritmo:

1. Encuentre w en funcion del determinante de las funciones dadas
2. Realizar determinante
3. Si w=0, es dependiente, y si w no es igual a 0, es independiente.

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Concepto:

Una ecuación diferencial lineal de orden superior se representa según su grado de la siguiente manera:

Para su resolución se debe resolver realizando la conversión a una función polinomial de la forma:

La solución se encuentra mediante las raíces de dicha función polinomal aplicando la solución:

Las soluciones se pueden presentar considerando los siguientes casos:

Caso 1: Cuando las raices son reales se sustituyen los valores de las raices de manera directa en el exponente de la funcion, matematicamente se expresa de la siguiente manera:

y = C1e^(m1x) + C2e^(m2x)

Caso 2: Cuando las raíces son iguales (m1 = m2) en este caso se repite la raíz en cada potencia y se implementa una variable independiente en cada termino.

y = C1e^(m1x) + C2xe^(m2x)

Caso 3: Cuando las raíces son imaginarias, en un valor imaginario, la parte real se representa por la letra alpha y la letra imaginaria por la letra beta, matemáticamente se representa de la siguiente forma:

y = e^AX(COS(β˟)+SEN(β˟))

Algoritmo para resolver E.D.L:

1. Substituir las derivadas de la ecuación por la variable m.
2. Resolver por método de factorizacion o formula general las raíces (m1 y m2) del polinomio.
3. Identificar si las raíces son reales diferentes, reales iguales, o imaginarias.
4. Remplazar raíces dentro de formula correspondiente para obtener la solución general.