Ecuación diferencial de una familia de curvas

Ecuación diferencial de una familia de curvas

Una ecuacion diferemcial cuenta con una solucion general que contiene una constante de integracion; y un numero indefinido de soluciones particulares, para encontrar una solucion particular se debeidentificar el valor de la constante sustituyendo el punto por donde se desea pasar la grafica de la solucion general.

EJEMPLO

      dy       y                    4.-    (lny)          (lnx+c)

1.-  --- =  ---                         e           y=e

      dx       x                         

                                                  ln     c

2.- xdy=ydx                     5.- y=e    - e

3.- ln y+c = lnx + c         6.- y=c*x

Pto(4,2)         2=C(4)       C=2/4=1/2=.5                   

y	X
-3	-1.5
-2	-1
-1	-0.5
0	0
1	0.5
2	1
3	1.5

    Pto(1,1)       1=C(1)     C=1/1=1

y	X
-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3

Pto(1,3)         3=C(1)

y	X
-3	-9
-2	-6
-1	-3
0	0
1	3
2	6
3	9

                   

∂y

∂f∂y

Integracion por partes

Integracion por partes

En este articulo encontrar muchas integrales resueltos por el método de integración por partes. Algunas integrales son definidas y otras son integrales indefinidas. Todos estos problemas están resueltos paso a paso.

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para Integración por partes.

Si revisamos el tema de diferenciales podemos ver que el diferencial del producto entre dos funciones es,

.

Una forma equivalente es,



Al integrar ambos lados obtenemos una ecuación muy útil para encontrar primitivas,

Ejemplo: 

∫4x²senxdx

1.- Se determinan los equivalentes respecto con la formula 

u=4x²

dv=senxdx

2.- se realiza un cuadro  colocando signo (comenzando con positivo) , "u" , "dv" y resultado 

signo     u           dv              resultado

+         4x²        senxdx

3.- Se integra hasta llegar a 0

         

signo       u           dv              resultado

  +         4x²        senxdx

   -         8x        -cosx            -4x²cosx 

  +          8         -senx           -8senx

   -          0          cosx             8senx

El resultado es:

 -4x²cosx  - 8senx + 8senx +C

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.
Ecuación diferencial ordinaria
Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO):


Ejemplo:

Ecuación diferencial parcial

Ecuación diferencial parcial

Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)

Ejemplo:

En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente. 

Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

Por ejemplo:

1.- , esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

2.- y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3

3.-) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

          Clasificación según la Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y⁽ⁿ⁾. Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y⁽ⁿ⁾) = 0 es:

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que:

La variable dependiente "y" y todas sus derivadas y', y'',..., y⁽ⁿ⁾ son de primer grado. Y los coeficientes a₀, a₁,..., a_n dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a) y''+xy'-3y=e^2x , b) y''' + y'' + y = 0, c) (1-x) y'' - 4xy' + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

a) (1-y) y'' - 2y= e^x, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y'' también depende de y.

b) y'' + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

c) y'' + y² = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.

d) (y''')³ + xy'' - 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y''' es 3 y para ser lineal debe ser 1