Ecuaciones de Bernoulli

Concepto: 

Una ecuación diferencial de Bernoulli se resuelve mediante la substitución de un factor “w” que es el inverso de la variable dependiente

Para su resolución se debe convertir la ecuación en una ecuación lineal modificando la variable dependiente 

Algoritmo para resolver E.D.L:

1. Encontrar el factor n y determinar que no sea = 0, o =1
2. Remplazar los valores dentro de la segunda expresion respetando los coeficiente p(x) y q(x).
3. Resolver normalmente la ecuación diferencial lineal, igualando a “w”.
4. Al resolver, remplazar “w” por 1/y
5. Resolver por y
6. Encontrar solución particular remplazando las coordenadas dadas.

X dy/dx+y=1/y2

Xdy/dx+y =1/y2

dy/dx+y/x = 1/xy2

dy/dx+y/x= x−1/y−2

u=y1−n y n=−2, entonces: u=y1−(−2)=y1+2=y3

y=u√3

y=u1/3

dy/dx=13u13−1dudx

dy/dx=13u−23dudx

dy/dx=13u23∗dudx

dy/dx+y/x=x−1y−2

⇒13u23∗du/dx+u13x=x−1(u13)−2

⇒13u23∗dudx+u13x=− x 1u−2/3

⇒dudx+3(u23∗u13)x3(u23∗u−2/3)

⇒dudx+3(u23+13)x=x3(u23–23)

⇒dudx+3ux=x3x

dudx+3xu=3x−1

e∫P(x)dx=e∫3dxxe3∫dxxe3ln|x|eln|x3|

ycuc==C1e−∫P(x)dxC1e−∫3dxxC1e−3∫dxxC1e−3ln|x|C1eln|x−3|C1eln∣∣1x3∣∣C1(1x3)C1x3

ypup=1e∫P(x)dx∫e∫P(x)dxf(x)dx1x3∫x3(3x)dx1x3∫3x2dx3x3∫x2dx3x3[x2+12+1]3x3[x33]1

uu==uc+upC1x+1

uy3==C1x+1C1x+1

y3=C1x−1+1