Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Concepto:

Una ecuación diferencial lineal de orden superior se representa según su grado de la siguiente manera:

Para su resolución se debe resolver realizando la conversión a una función polinomial de la forma:

La solución se encuentra mediante las raíces de dicha función polinomal aplicando la solución:

Las soluciones se pueden presentar considerando los siguientes casos:

Caso 1: Cuando las raices son reales se sustituyen los valores de las raices de manera directa en el exponente de la funcion, matematicamente se expresa de la siguiente manera:

y = C1e^(m1x) + C2e^(m2x)

Caso 2: Cuando las raíces son iguales (m1 = m2) en este caso se repite la raíz en cada potencia y se implementa una variable independiente en cada termino.

y = C1e^(m1x) + C2xe^(m2x)

Caso 3: Cuando las raíces son imaginarias, en un valor imaginario, la parte real se representa por la letra alpha y la letra imaginaria por la letra beta, matemáticamente se representa de la siguiente forma:

y = e^AX(COS(β˟)+SEN(β˟))

Algoritmo para resolver E.D.L:

1. Substituir las derivadas de la ecuación por la variable m.
2. Resolver por método de factorizacion o formula general las raíces (m1 y m2) del polinomio.
3. Identificar si las raíces son reales diferentes, reales iguales, o imaginarias.
4. Remplazar raíces dentro de formula correspondiente para obtener la solución general.